Question

设A1、A2为椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的 点P ，使得 OP垂直PA2。

其中O为坐标原点，求椭圆的离心范围。

Answer 1

设点P(x',y')，由OP垂直PA2，(y'/x')[y'/(x'-a)]=-1
y'^2=x'^2-ax' 代入x'^2/a^2+y'^2/b^2=1
(b^2-a^2)x'^2+a^3x'-a^2b^2=0。
解得x=a(舍去) x'=ab^2/(a^2-b^2)
∵0<x<a
∴0<ab^2/(a^2-b^2)<a 即0<b^2/c^2<1
0<(a^2-c^2)/c^2<1
0<(1/e^2)-1<1
1<1/e^2<2
1/2<e^2<1
∴√2/2<e<1
选D

Answer 2

设点P(x,y)，由b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2，(y/x)(y/(x-a))=-1，消y得
(b^2-a^2)x^2+a^3x-a^2b^2=0。
显然x=a是方程的一个根，由韦达定理，另一根满足x*a=-a^2b^2/(b^2-a^2)，得x=ab^2/(a^2-b^2)，即为P横坐标。
由0<x<a，得a^2<3c^2，既1>e>根号(1/3)。

Answer 3

看图

Answer 4

如图。。。。。