Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90º,AB=8,AD=12,tanC=4／3,AM∥DC,E,F分别是线段AD、

AM上的动点且∠FEM=∠AMB,设DE=x,MF=y求证AM=MD;y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；若点E在边AD上移动时，ΔEFM为等腰三角形、求x的值；若以BM为半径的⊙M和以ED为半径的⊙E相切，求ΔEMD的面积

Answer 1

（1）作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，BH=AD=12，DH=AB=8，
由tanC= 得，DH/CH=4/3，CH=6，所以，CD=10。
由AM∥DC知，四边形AMCD是平行四边形，AM=CD=10，所以，MH=6，由勾股定理可得，DM=10，
所以，AM=DM。
（2）∵AM=DM， ∴∠MDA=∠DAM
∵AD∥BC， ∴∠MAD=∠AMB。 ∵∠FEM=∠AMB， ∴∠FEM=∠MAD
∵∠FEM+∠DEM=∠MAD+∠AFE ∴∠DEM=∠AFE，
∴⊿AEF∽⊿DME， ∴AE：DM=AF：DE，即（12－x）：10=（10－y）：x
∴ y=0.1x2－1.2x＋10。
（3）若FM=EM时，x=0；
若FM=FE时，则∠FEM=∠FME=∠MAE，于是，AE=EM，作EG⊥AM于G，则G是AM的中点，
所以AG=2.5。不难发现，Rt⊿ABM∽Rt⊿EGA，所以，BM：GA=AM：AE，
即6：2.5=10：（12－x），所以x=47/6；
若EM=FE时，⊿AEF≌⊿DME，AE=DM，即12－x=10，x=2。
综上所述，当ΔEFM为等腰三角形时，x=0，2，47/6。
（4）作MN⊥AD于N，四边形ABMN是矩形，MN=AB=8，NE=6－x
以BM为半径的⊙M和以ED为半径的⊙E相切时，DM=6+x，
在Rt⊿MNE中，ME2=MN2+NE2，（6+x）2=64+（6－x）2
x=8/3，SΔEMD=1/2 • 8/3×8=32/3 。