Question

在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE

（1）求证四边形BECF为菱形（2）当∠A的大小为多少度是，四边形BEFC是正方形

Answer 1

解：（1）四边形BECF是菱形．

证明：EF垂直平分BC，

∴BF=FC，BE=EC，

∴∠1=∠2，

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，

∴∠3=∠4，

∴EC=AE，

∴BE=AE，

∵CF=AE，

∴BE=EC=CF=BF，

∴四边形BECF是菱形．

解：（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．

证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠1=45°，

∴∠EBF=2∠A=90°，

∴菱形BECF是正方形

Answer 2

解：（1）四边形BECF是菱形．
证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形．
解：（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形

Answer 3

因为bc垂直ef ∠ACB=90°所以AC平行EF
又D是bc的中点，由相似三角形定理可得 E为AB中点
又三角形abc为rt三角形 得到CE=CF=AE
又cd垂直ef 所以cd平分ef
对角线垂直平分，所以四边形BECF为菱形

因为四边形BEFC是正方形
所以ce垂直ab 又ce=ae=be 所以∠A=45°

Answer 4

解：（1）四边形BECF是菱形．
证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形．
解：（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形

Answer 5

∠A=45°