Question

如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,P是BD上一点,PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，连结OE，OF

求证：（1）OE=OF；（2）OE⊥OF

Answer 1

证明：延长EF交CD于M，
因为PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，
所以四边形DFPM是正方形
所以DF=DM,
同理四边形AEMD是矩形
所以AE=DM
所以AE=DF
在正方形ABCD中，∠EAO=∠FDO=45°，OA=OD
所以△AEO≌△DFO(SAS)
所以OE=OF
∠AOE=∠DOF,
又正方形ABCD中，∠DOF+∠AOF=90°
所以∠AOF+∠AOE=90°
所以∠EOF=90°
即OE⊥OF

Answer 2

由题意得，四边形AEFP是长方形，三角形FPD是等腰直角三角形，所以AE=FD，AO=DO，角EAO=FDO=45度。所以三角形AEO全等开三角形DFO，所EO=FO；角DOF=AOE
角DOF+FOA=90 角AOE+FOA=90 所以OE⊥OF