Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a=（-1，2），又点A（8，0），B(n,t)

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a=（-1，2），又点A（8,0），B(n,t),C(ksinα,t)(0≤α≤π/2).
（1）若向量AB垂直于向量a，且AB的模等于√5乘以OA的模，求向量OB；
（2）若向量AC与向量A共线，当k>4时，且tsinα取最大值为4时，求向量OA乘 以向量OC.

Answer 1

(1)向量AB=(n-8，t)
由向量AB垂直于向量a得 -1(n-8)+2t=0即n=2t+8
由AB的模等于√5乘以OA的模得 (n-8)²+t²=(8√5)²=320
解方程组可得t=8，n=24或t=-8，n=-8
所以向量OB=(24,8)或(-8,-8)
(2)向量AC=(ksinα-8，t)
由向量AC与向量a共线得 -t-2(ksinα-8)=0即t=16-2ksinα
tsinα=-2ksin²α+16sinα=-2k(sinα-4/k)²+32/k
由于k>4 所以0<4/k<1
故当sinα=4/k时，tsinα的最大值为32/k，所以32/k=4 即k=8
此时sinα=4/k=1/2，t=16-2×8×(1/2)=8
所以向量OC=(4,8)
向量OA乘以向量OC=(8,0).(4,8)=32

Answer 2

(1) 向量AB=(n-8,t)
向量AB垂直于向量a -1*(n-8)+2t=0 n-8=2t (i)
AB的模等于√5乘以OA的模 √[(n-8)^2+t^2]=√5*√(8^2+0)
(n-8)^2+t^2=320 (ii)
(i)代入(ii) 4t^2+t^2=320 t=8或-8
代入(i) n=24或-8
∴向量OB=(24,8)或(-8,-8)
(2) 向量AC=(ksinα-8, t)
向量AC与向量a共线 -1/(ksinα-8)=2/t 2ksinα=16-t
已知k>4时，tsinα取最大值为4 又0≤α≤π/2
可见此时必定sinα=1 则t=4
故2ksinα=16-4=12 ksinα=6
所以向量OA乘 以向量OC=8*ksinα+0*t=8ksinα=8*6=48

Answer 3

1)向量AB=(n-8,t)
(n-8)*8+t*0=0===>n=8; √[(n-8)²+t²]=√5√(8²+0²)===>t=8√5
向量OB=(8,8√5)

(2).向量AC=(ksina-8,t)
(ksina-8)*0-8*t=0===>t=0
向量OA*向量OC=8ksina+0=8ksina=32

Answer 4

：（1）AB=(n-8，t)，∵AB⊥
a，∴8-n+2t=0
又|
AB|=
5|
OA|，∴（n-8）2+t2=5×64得t=±8∴OB=(24，8)或（-8，-8）
（2）AC=(ksinθ-8，t)，
因为向量AC与向量a共线，
∴t=-2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（-2ksinθ+16）sinθ=-2k(sinθ-
4k)2+
32k
①当k＞4时，0＜
4k＜1∴sinθ=
4k时，tsinθ取最大值为32k，
由32k=4，得k=8，此时θ=
π6，OC=(4，8)
∴OA•
OC=(8，0)•(4，8)=32
②当0＜k＜4时，
4k＞1，
∴sinθ=1时，tsinθ取最大值为-2k+16，
由-2k+16=4，得k=6，（舍去）
综上所述，∴OA•
OC=32

Answer 5

OB=(24,8)或(-8,-8)
OA·OC=(8,0).(4,8)=32