Question

如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2分之根号3且经过点M(4,1)。

如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2分之根号3且经过点M(4,1)。直线l:y=x+m叫椭圆与A,B两不同的点..
1.求椭圆的方程
2.求m的取值范围
3.若有直线l不过点M,求证:直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1，因为 e=32，所以a2=4b2，又椭圆过点M（4，1），所以 16a2+1b2=1，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为 x220+y25=1（5分）
（2） 将y=x+m代入 x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，△=（8m）2-20（4m2-20）＞0得：5＞m＞-5．
(3)设直线MA，MB斜率分别为k1和k2，只要证k1+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=-8m5，x1x2=4m-205
k1+k2=y1-1x1-4+y2-1x2-4=(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)(x1-4)(x2-4)
分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
2(4m2-20)5-8m(m-5)5-8(m-1)=0
因此MA，MB与x轴所围的三角形为等腰三角形
加分吧！别忘了，打字很累诶

Answer 2

1) 设椭圆 x^2/a^2 +y^2/b^2=1 ,e=c/a ,c^2/a^2=3/4 ----- 1- b^2/a^2=3/4 ------- b^2= 1/4 a^2
于是椭圆x^2/a^2+4y^2/a^2=1 点M（4，1）代入得 a^2=20 ,b^2=5
于是椭圆 方程 x^2/20+y^2/5 =1
2) 直线l；y=x+m代入椭圆 得 5x^2 +8mx+4m^2-20=0
判别式 ＞0 ，即 64m^2-80m^2+400＞0, m^2＜25 ,得 -5＜m＜5
3)设直线MA，MB斜率分别为k1和k2，只要证k1+k2=0
x1+x2=-8m/5 @x1*x2=(4m^2-20)/5
K=(1-y1)/(4-x1)=(1-x1-m)/(4-x1) k2=(1-y2)/(4-x2=(1-x2-m)/(4-x2)
k1+k2=1-x1-m)/(4-x1)+(1-x2-m)/(4-x2)

Answer 3

解：（一）e=c/a=(√3)/2.===>e^2=c^2/a^2=3/4,故可设a^2=4t,c^2=3t,(t>0)===>由a^2=b^2+c^2.得b^2=t.故可设椭圆e：(x^2/4t)+(y^2/t)=1.又椭圆过点m(4,1).===>(16/4t)+(1/t)=1.===>t=5.===>椭圆e：(x^2/20)+(y^2/5)=1.(二）可设直线ab：y=x+p.与椭圆方程联立得：5x^2+8px+4(p^2-5)=0.判别式=16（25-25-p^2)>0===>|p|<5.设点a(x1,x1+p),b(x2,x2+p).由韦达定理知，x1+x2=-8p/5,x1x2=4(p^2-5)/5.由点a,m,cc共线可得点c((4p+3x1)/(x1+p-1).0)同理可得点d((3x2+4p)/(x2+p-1),0).由此可知线段cd中点n的横坐标为{[(3x1+4p)/(x1+p-1)]+[(3x2+4p)/(x2+p-1)]}/2=4,即点n（4，0）.易知，mn⊥cd。三线合一知，三角形mcd为等腰三角形。