Question

y=x^3-ax^2+10在区间1到2内至少存在一个实数x,使得y<0成立,求a取值范围

Answer 1

令y=f(x)
y'=3x^2-2ax=x(3x-2a)=0
x=0 或2a/3
x=0时 f(0)=10>0不成立
f(2a/3)=10-4a^3/27
1.当极值点为最大值时，f(x)必须单调递减才有可能有y<0
此时x=2a/3<1 a<3/2 (1)
f(2)为最小值，必须f(2)=18-4a<0 a>9/2 (2)
(1)(2)矛盾，故不成立
2. 当极值点为最小值时，分两种情况
(1) x=2a/3>2 时 a>3 (3)
且f(x)单调递减，
则在[1,2]内，f(2)最小，则f(2)=18-4a<0 a>9/2 (4)
所以a>9/2满足条件
(2)1<2a/3<2时，3/2<a<3 (5)
则在[1,2]内，f(2a/3)最小，必须f(2a/3)=10-4a^3/27<0
270-4a^3<0 a^3>135/2 a>(3/2)*20^(1/3) (6)
所以(3/2)*20^(1/3)<a<3
综上：a>9/2 或(3/2)*20^(1/3)<a<3

追问

这里面y<0成立，意思是要保证1和2之间最大值小于0，那么其他值就保证小于0，而你是最小值小于0，不能保证最大值小于0。

追答

你这里要求的是只要有一个值使y<0成立即可

Answer 2

先把上式变一下形式。即：x^3<ax^2-10然后再把左右两边的函数图象画出来，就是所谓的数形结合的方法
如果区间是闭合的话，那么a>=9/2
开区间的话就不能取等号了
此题用数形结合的方法还是比较简单的

Answer 3

9/2<a<11
记f(x)=x^3-ax^2+10
由y'=3x^2-2ax=x(3x-2a)=0得
x1=0，x2=2a/3
当2a/3<1时，即a<3/2
函数y=x^3-ax^2+10在区间1到2上单调递增
则f(1)<0且f(2)>0
无解
当1<2a/3<2时，即3/2<a<3
则函数在1到2a/3递减，在2a/3到2递增
则f(1)>0，f(2a/3)<0或f(2a/3)<0，f(2)>0
无解
当2a/3>2时，即a>3时
函数y=x^3-ax^2+10在区间1到2上单调递减
所以f(1)>0且f(2)<0
9/2<a<11
综上9/2<a<11
9/2<a<11

Answer 4

应该这样做：
命题的否定：区间1到2任意一个实数x,使得y>=0成立
分离参数：a<=x+10/x^2 令y=x+10/x^2 求导：y'=1-20/x^3=y'=(x^3-20)/x^3<0 减函数
a<=1+10/1=11
所以原命题：a>11