数学分析问题
设D=[0,1]x[0,1]f(x,y）=1/qx+1/qy,当(x,y）为D中有理点f(x,y）=0，当(x,y）为D中非有理点其中qx表示有理数x化成既约分数后的分母...
设D=[0,1]x[0,1]
f(x,y）=1/qx+1/qy,当(x,y）为D中有理点
f(x,y）=0，当(x,y）为D中非有理点
其中qx表示有理数x化成既约分数后的分母，
证明：f(x,y）在D上的二重积分存在而两个累次积分不存在。
谢谢大家！！ 展开
f(x,y）=1/qx+1/qy,当(x,y）为D中有理点
f(x,y）=0，当(x,y）为D中非有理点
其中qx表示有理数x化成既约分数后的分母，
证明：f(x,y）在D上的二重积分存在而两个累次积分不存在。
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考虑函数的二重积分
由于f在无理数点连续，故f与0（作为一个函数）只相差一个由有理数点构成的零测集
由此积分f=积分0=0
对于累次积分的情形若x为有理数则
积分f（x,y）dy>=积分1/qxdy=正无穷
从而累次积分不存在
但是我们指出累次积分几乎处处存在，证明也是很快的，详见卓里奇《数学分析》第二卷119页
由于f在无理数点连续，故f与0（作为一个函数）只相差一个由有理数点构成的零测集
由此积分f=积分0=0
对于累次积分的情形若x为有理数则
积分f（x,y）dy>=积分1/qxdy=正无穷
从而累次积分不存在
但是我们指出累次积分几乎处处存在，证明也是很快的，详见卓里奇《数学分析》第二卷119页
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