Question

三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b^2=ac,cosB=3/4.（1）求1/tanA +1/tanC的值

（2）若向量BA*BC＝3/2，设函数f(x)=-cos^2x+sinx+a+c+m，且f(x)小于等于1对一切x属于R恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

(1)cosB=3/4，从而sinB=√7/4，由正弦定理，b^2=ac等价于7/16=sinB^2=sinAsinC
所以1/tanA +1/tanC=cosA/sinA+cosC/sinC=[cosAsinC+cosCsinA]/[sinAsinC]=sin(A+C)/[sinAsinC]=sinB/[sinAsinC]=√7/4/(7/16)=4√7/7
(2)BA*BC=cacosB=3/2，所以b^2=ac=2
而由余弦定理，2=b^2=a^2+c^2-2accosB，解得a^2+c^2=5
所以a+c=3。
f(x)=sin^2 x-1+sin x+3+m=(sin x+1/2)^2+m+7/4
其最大值在sin x=1时取到，为m+4，
由于f(x)小于等于1对一切x属于R恒成立，所以m+4≤1，即m≤-3

Answer 2

(1)b^2=ac sin^2B=sinAsinC
cosB=3/4 sinB=根号7/4
1/tanA +1/tanC=cosA/sinA+cosC/sinC=(cosAsinC+sinAcosC)/sinAsinC=sin(C+A)/sinAsinC=sinB/sinAsinC
=1/sinB=4/根号7