Question

已知关于x的方程(k-2)x^2-2(k-1)x+ (k+1)=0，且k≤3。

当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于4，k的值等于多少？

Answer 1

有两实数根说明Δ≥0，即4(k-1)^2-4(k-2)(k+1)≥0，化简得Δ=12-4k≥0，得k≤3。两实数根分别为x1=（2(k-1)+√Δ） / （2(k-2)） ；x2=（2(k-1)-√Δ） / （2(k-2)）。由题目已知：x1²+x2²=4，将Δ=12-4k代入x1，x2，然后代入x1²+x2²=4化简得2k²-11k+11=0，解之得k= 11±√33 / 4。又k≤3，所以舍弃k= 11+√33 / 4这个解，因此k的值为k= 11-√33 / 4。
思路就是这样的~~当然不排除我算错的情况O(∩_∩)O~

追问

两实数根分别为x1=（2(k-1)+√Δ） / （2(k-2)）

一元二次方程的求根公式：（b^2±√Δ）/2a（Δ=b^2-4ac）
不是吗？

然后代入x1²+x2²=4化简得2k²-11k+11=0
你怎么化简的啊？

追答

一元二次方程的两实数根应该为：x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)，分子项为-b±√Δ，而不是b^2±√Δ，你可能记错了。我想了一下，先化简两实数根的平方和再代入数据比较简便。两实数根的平方和也就是：[(-b+√Δ)/(2a)]^2+[(-b-√Δ)/(2a)]^2=(b^2+Δ)/(4a^2)=4 ，然后将b=-2(k-1) ；a=k-2；Δ=12-4k代入(b^2+Δ)/(4a^2)=4 ，呃，这次化简出来是3k^2-13k+12=0，跟上次不一样额，好久不做题了o(╯□╰)o你试试，如果化简出来也是我这么多，然后解出k的值就可以了，注意k≤3这个条件。如果不是我这么多，咱可以再探讨探讨。

追问

我在网上搜了一下，专题中这道题是这么做的。你看一下。O(∩_∩)O~
http://stu.bdchina.com/xinbanziyuan/63/shang/c3/c3dx/c3sx02.htm
例7

追答

嗯，多年不做题，都忘记两根之和、两根之积公式了~~~~╮(╯▽╰)╭将b=-2(k-1) ；a=k-2；Δ=12-4k代入(b^2+Δ)/(4a^2)=4化简出来也是k^2-5k+4=0，不好意思，上面是我化简错了~~他那样做算起来可能容易一些，略带一些技巧，我这样就是死算，老咯O(∩_∩)O~

Answer 2

解：（1）当k=3时，原方程式变为：x²-4x+4=0
所以解方程得：X=2
（2）当k<3时，先求判别式△=b^2-4ac=4 x (k-1)^2 - 4 x (k-2) x (k+1)= 12 - 4k
因为k<3，所以 12 - 4k > 0
所以原方程有两个不同的根
利用求根公式求得：
X1=（k-1+根号3-k）/(k-2) ，X2=(k-1-根号3-k)/(k-2)
希望你会采纳！呵呵！

Answer 3

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解：（1）当k=3时，原方程式变为：x²-4x+4=0
所以解方程得：X=2
（2）当k
因为k
0
所以原方程有两个不同的根
利用求根公式求得：
X1=（k-1+根号3-k）/(k-2)
，X2=(k-1-根号3-k)/(k-2)
希望你会采纳！呵呵！

Answer 4

b^2-4ac=4(k-1)^2-4(k-2)(k
1)
(4k^2-8k
4)-(4k^2-4k-8)
-4k
12=-4(k-3)>=0
若k=2
则为一次方程
-2x
3=0,x=3/2
k不为2，则为二次方程,x=(2(k-1)
-2(3-k)^(1/2))/(2*(k-2))
当k=2时，原方程为-2(2-1)x
2
1=0
解得x=3/2
当k不等于2时，原方程为(k-2)x^2-2(k-1)x
(k
1)=0
则b^2-4ac=4(k-1)^2-4(k-2)(k
1)
=4k^2-8k
4)-(4k^2-4k-8)
=4k
12=-4(k-3)
又因为k<=3,所以-4(k-3)>=0
所以二次方程解x=(2(k-1)
-2(3-k)^(1/2))/(2*(k-2))