Question

已知实数x,y满足3x2+2y2=6x,则x2+y2的最大值是

Answer 1

3x^2+2y^2=6x是一个椭圆方程，于是所求问题就转化为椭圆上的点到坐标轴原点的最大距离
设最大距离的点的坐标为(x,y),则最大距离为根号（x^2+y^2）,
因为（x,y)是椭圆上的点，于是可以用x来表示y,即y^2=(6x-3x^2)/2,把它代人上面的式子
得到-1/2(x-3)^2+9/2,而x的范围为[0,2](可以把椭圆画出来观察得到）
x取2时得到最大值为4

或者直接算3x²+2y²=6x
y²=3x-3x²/2（由y^2>=0,得x的范围为[0,2]）
x²+y²
=x²+3x-3x²/2
=3x-x²/2
=(6x-x²)/2
=-(x-3)²/2+9/2
当x=2时取得最大值4

Answer 2

2y^2=6x-3x^2
y^2=3x-3/2x^2
所以x^2+y^2=x^2+3x-3/2x^2=-1/2x^2+3x
然后配方可以得到-1/2(x-6)^2+9/2
是一个开口向下的抛物线，抛物线的顶点的y轴的值就是最大值，4.5

Answer 3

3x²＋2y²=6x
3(x－1)²＋2y²=3
(x－1)²＋y²/(3/2)=1
设：x=1＋cosw，y=[√(3/2)]sinw
则：x²＋y²=(1＋cosw)²＋[√(3/2)sinw]²
=1＋2cosw＋cos²w＋(3/2)sin²w
=－(1/2)cos²w＋2cosw＋(5/2)
=－(1/2)[cosw－2]²＋(9/2)
最大值是当cosw=1时取得的，是4

Answer 4

3x²+2y²=6x
y²=3x-3x²/2
x²+y²
=x²+3x-3x²/2
=3x-x²/2
=(6x-x²)/2
=-(x-3)²/2+9/2
≤9/2
x²+y²的最大值是9/2

Answer 5

3x^+2y^2=6x
3x^2-6x=-2y^2
得
y^2=3x-3/2x^2
将y^2代入x^2+y^2式子得1元2次方程

x^2+y^2
=x^2+3x-3/2x^2
=-1/2x^2+3x
=-1/2[x^2-6x]
=-1/2[x^2-6x+9]+9/2
=-1/2[x-3]^2+9/2
当x=3时，x^2+y^2有最大值，为9/2