Question

若n是不小于2的正整数，试证4/7＜1-1/2+1/3-1/4+···+1/（2n-1）-1/2n＜√2/2

Answer 1

先解中间的：

1-1/2+1/3-1/4+...+1/（2n-1）-1/2n=(1+1/3+1/5+1/7+...+1/(2n-1))-(1/2+1/4+1/6+1/8+...+1/2n)

设 A=1+1/3+1/5+1/7+...+1/(2n-1);
B=1/2+1/4+1/6+1/8+...+1/2n=1/2(1+1/2+1/3+1/4+...+1/n);
{
∵ S(n)=1-1/2+1/3-1/4+...+(-1)^(n-1)/n
∴ S(2n)=1-1/2+1/3-1/4+...-/(2n-1)+1/(2n)
=(1+1/2+1/3+...+1/2n)-2(1/2+1/4+1/6+...+1/2n)
={∑[2n]1/k-ln(2n)}-{∑[n]1/k-ln(n)}+ln2
当n→∞,S(2n)→γ-γ+ln2.
S(2n-1)=S(2n)-1/(2n),→ln2.
} 高中的基本到这我就不会了，这是找高人解的。

或者利用微积分得

中间部分值为 ln2

然后就进行对比，OK了。