Question

已知b+c/a=c+a/b=a+b/c，求abc/(a+b)(b+c)(c+a)

Answer 1

设 b+c/a=c+a/b=a+b/c=K
则b+c=aK¨¨¨¨¨(1)
c+a=bK¨¨¨¨¨(2)
a+b=cK¨¨¨¨¨(3)
(1)+(2)+(3)
（b+c）+（c+a）+（a+b）=K(a+b+c)
2（a+b+c)=K（a+b+c)
K（a+b+c)-2（a+b+c)=0
（K-2)（a+b+c）=0
解得 K=2 或a+b+c=0
当K=2时 ， abc/(a+b)(b+c)(c+a)=abc／（2c×2a×2b）=1／8
当a+b+c=0时，a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b
abc/(a+b)(b+c)(c+a)=abc/[(-c)×（-a)×(-b)]=-1
∴原式有两个解：1／8或 -1

Answer 2

设(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=k，
则由比例的性质，如果a+b+c不为0，则k=(2a+2b+2c)/(a+b+c)=2，
如果a+b+c=0，显然k=-1，
因此 1）若a+b+c≠0，则b+c=2a，c+a=2b，a+b=2c，
abc/((a+b)(b+c)(c+a))=abc/(8abc)=1/8；
2）若a+b+c=0，则b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，
abc/((a+b)(b+c)(c+a))=abc/(-abc)=-1。