Question

在平面直角坐标系XOY中,以C(1,-2)为圆心的圆与直线x+y+3√2+1=0相切。求过点(3,4)

且截得圆C所得的弦长为2倍根号5的直线l的方程。

Answer 1

因为以C(1,-2)为圆心的圆与直线x+y+3√2+1=0相切
从而可以通过点到直线的距离公式求得
半径 r=（1-2+3根号2+1）/根号2=3
过点(3,4)的直线截得圆C所得的弦长为2倍根号5
圆的半径与弦长的一半组成直角三角形，
从而得到圆心到直线l的距离为d=2
1、当直线l斜率不存在时，即x=3 显然满足条件
2、当k存在时 设直线为-y+4+k(x-3)=0
由点到直线的距离公式 （4+2-2k）/根号（k^2+1）=2
解得 k= 4/3
所以直线l为 y-4=4/3（x-3）或 x=3

Answer 2

以C(1,-2)为圆心的圆与直线x+y+3√2+1=0相切。
利用点到直线距离，求出R
R=|1-2+3根号2+1]/根号（1方+1方）=3

半弦长、半径、弦心距构成直角三角形
弦心距的平方=3方-5=4，弦心距=2
（3，4）和圆心、弦心距的垂足（设为X，Y），构成直角三角形
（3，4）到（1，-2）的距离=2根号10
（4，3）到（X，Y）的距离的平方=（4-X）方+（3-Y）方=40-4=36
（1，-2）到（X，Y）的距离的平方=（1-X）方+（-2-Y）方=2方=4
解上面两个方程得到（X，Y）。再和（3，4）用两点式求出直线L