Question

设一阶线性非齐次微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1,y2，若αy1+βy2也是该方程的解，求α+β

设一阶线性非齐次微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1,y2，若αy1+βy2也是该方程的解，求α+β
答案是1~希望给出过程

Answer 1

一阶线性非齐次微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1,y2，
所以αy1，βy2分别是αy1'+αP(x)y1=αQ(x)，βy2'+βP(x)y2=βQ(x)的解。
而αy1+βy2也是方程y'+P(x)y=Q(x)的解，代入得
(αy1+βy2)'+P(x)(αy1+βy2)=Q(x),展开得
[αy1'+αP(x)y1]+[βy2'+βP(x)y2]=αQ(x)+βQ(x)=(α+β)Q(x)=Q(x)
故α+β=1.