Question

二次函数f(x)=ax^2+bx+c ，f(-1)=0 是否存在常数a b c使2x<=f(x)<=x^2+1对一切实数x都成立？若存在，求出

a,b,c的值
过程！！！

Answer 1

存在。
若存在，2<=f(1)<=2,a+b+c=2
y=2x是f(x)在x=1处的切线，2a+b=2
又a-b+c=0
所以a=0.5,b=1,c=0.5。
若不知道y=2x是f(x)在x=1处的切线,也可由a+b+c=2和a-b+c=0得到b=1,a+c=1,将c=1-a代入f(x)=ax^2+x+(1-a)<=x^2+1,整理至一边可得(2a-1）^2<=0,a=0.5.
当然，作为解题过程，最后还需验证得到的函数满足要求。

Answer 2

由f(-1)=a-b+c=0, 得c=b-a, f(x)=ax^2+bx+b-a=a(x^2-1)+b(x+1)=(x+1)(ax-a+b)
若f(x)>=2x, 即ax^2+bx+b-a>=2x, ax^2+(b-2)x+b-a>=0
要使恒成立，需 a>0 , delta=(b-2)^2-4a(b-a)<=0, 即b^2-4b+4-4ab+4a^2<=0, [b-2(1+a)]^2<=0
只有：b=2(1+a)
又若f(x)<=x^2+1, 即ax^2+bx+b-a<=x^2+1, 即(1-a)x^2-bx+a+1-b>=0
要使恒成立，需1-a>0, delta=b^2-4(1-a)(a+1-b)=4(1+a)^2+4(1-a)(a+1)=8(1+a)<=0, a<=-1
a>0,且 a<=-1这样矛盾。
所以不存在这样的a.b,c

Answer 3

f（-1）=0得 a-b+c=0
2x与x^2+1交于点（1,2）
可知f(1)=2
a+b+c=2
可得b=1
若要满足不等式，a+c=1,且0<a<1

Answer 4

a=0.5
b=1
c=0.5

Answer 5

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