Question

高代问题 求多项式的公共根

f(x)=x^4+2x^2+9 g(x)=x^4-4x^3+4x^2-9

Answer 1

令f(x)=g(x)化简得：2x^3-x^2+9=0
因式分解得：(2x+3)(x^2-2x+3)=0
得：x1=-3/2；x2=1+i*sqrt(2)；x3=1-i*sqrt(2)
检验得1+i*sqrt(2)与1-i*sqrt(2)是f(x)与g(x)的公共根

追问

令f(x)=g(x)化简得：2x^3-x^2+9=0
因式分解得：(2x+3)(x^2-2x+3)=0
就想问这步是怎么来的 谢谢

追答

因式分解的经验，x三次方的系数是2=1×2；常数项为9=3×3，则试下有没有(2x+3)这个因式

Answer 2

前两个是对多个多项式说的，公共根就是x=x0同时使这多个多项式的值都为0
公因式范围更广一些，在因式分解之后，多个多项式含有的相同的因式，在实数范围内，既可以是一次因式，必然对应一个实公共跟，也可以是一个没有实数解的二次因式，对应两个虚数根

Answer 3

令两式相等，移项化简，得2x^3-x^2+9=0,通过观察发现3/2是它的解(这步很重要)，然后就用配方法把左边的式子化为两个因式相乘，(x+3/2)(2x^2-4x+6)=0,剩下的自己解喽，没问题吧。

追问

怎么通过观察3/2是它的解啊！！！

追答

像这类较为简单的一元三次方程，它的其中一个根一般都比较简单（根据做题经验，基本都是-3到3之间的简单的数），这就大大方便了我们的解题，当然我们最好是用逼近的方法来寻找，就这道题为例，首先肯定不可能为正数，然后可以把-1代入化简后的式子的左边，发现和将0代入时符号一致，然后可以将负2代入，发现符号不同，所以这之间必有一解，再代入-3/2,正解。
其实正真做题时可以很灵活的代之，肯快会找到一解的。 好了，就这样吧，希望对你有帮助。

Answer 4

>> syms x
>> solve(x^4+2*x^2+9)

ans =

-1+i*2^(1/2)
-1-i*2^(1/2)
1+i*2^(1/2)
1-i*2^(1/2)
>> solve(x^4-4*x^3+4*x^2-9)

ans =

-1
3
1+i*2^(1/2)
1-i*2^(1/2)

我用matlab算出是1±√2*i

Answer 5

令他们的最大公因式为0