Question

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已知t∈R,函数f(x)=-1/2x*3+tx (1)当t=1时，求函数y=f(x)在区间[0,2]的最值 （2）若f(x)在区间[-2,2]上是单调函数，求t的取值范围 （3）是否存在常数t,使得任意x∈[-2,2]都有|f(x)|≤6恒成立，若存在，请求出t,若不存在请说明理由

Answer 1

1）f(x)=-1/2x*3+x,=>divf(x)=-3x^2/2+1，则f(x)在[-√(2/3),√(2/3)]单调增加，其余则降低，
=>在[0,2]内最大值=f(√(2/3))=(2/3)^(3/2)
f(0)=0,f(2)=-2, =>最小值=f(2)=-2
2）divf(x)=3x^2/2+t, f(x)≥0的解包含[-2,2]，则t的范围为t≥3.
3）[-1,3(36)^(1/3)/2]

Answer 2

现在的学生复习都是在电脑前的啦

Answer 3

解：（1）当t=1,f(x)=-1/2x^3+x
f'(x)=-3/2x^2+1
令f'(x)=0,即-3/2x^2+1=0
解得 x=正负√6/2
在[0,2]上，当[0,√6/2]，f'(x)>0,f(x)在[0,√6/2]上单调递增
当[√6/2,2],f'(x)<0,f(x)在[√6/2,2]上单调递减
f(0)=0 f(√6/2)=√6/8 f(2)=-2
故f(x)在【0,2】上，最大值为f(√6/2)=√6/8
最小值为f(2)=-2
这道题前两问都比较简单的，第一问已经解决，后面两问，由于有点事出去一下，请你先想一下，或咨询其他朋友

Answer 4

f' (x)= lnx +1, 设 lnx+1>0, 得 x>1
所以函数 f（x）在(0, 1）上减函数，在[ 1, +无穷大)上增函数。
当 0<t<=1时，f(x)的最小值：f(1)=0
当 t>1时，f(x)的最小值是：f (t)= t*lnt
(2) 2f(x) >= g(x) , 2xlnx >= - x^2 +ax -3
整理： a<= 2lnx +x +3/x (x>0时恒成立)
设h(x)= 2lnx +x +3/x
那么问题转化为 h(x)的最小值问题。
h' (x) = 2/x +1 -3/x^2 >0, x^2 +2x -3>0 得： x>1 或者 x<-3(舍）
所以函数h(x)在(0,1]上减函数，在[1, +无穷大）上增函数。
h(x)的最小值=h(1)=4
a<=4