Question

设实数X,Y满足3≤XY^2≤8,4≤X^2/Y≤9,求X^3/Y^4的最大值 关于这题有一个逻辑问题 还望指教

解法一：x^3/y^4 分拆 成 ( x^2/y )乘( x/y^3 )
x/y^3=( X^2/Y )除( XY^2 )
所以MAX( x/y^3 )=3
所以X^3/Y^4的最大值为27
现在看解法二：这就出问题了 但是没搞明白 哪里错了 希望有人能帮忙解答
由题意知 x>0 y>0
对于3≤XY^2≤8 开平方 则为9≤x^2Y^4≤64
==》9/x^2 ≤ Y^4≤ 64/x^2..........................①
( XY^2 )乘( X^2/Y )=x^3 y
12/y≤x^3 ≤72/y................................................②
欲使X^3/Y^4最大 取①9/x^2 ②72/y
X^3/Y^4=②/①= 8*X^2/Y
X^2/Y取最大值 9
所以X^3/Y^4的最大值为72 与解法一答案不一致

求解决
写的佷混乱重新更正：
解法一：x^3/y^4 分拆成 ( x^2/y )*( x/y^3 )
（x/y^3）max=( X^2/Y )max / ( XY^2 )min=9/3=3
所以X^3/Y^4的最大值为( x^2/y )max*( x/y^3 )max=27

现在看解法二：很成问题
由题意知 x>0 y>0
对于3≤XY^2≤8 两边平方 则为9≤x^2Y^4≤64
==》9/x^2 ≤ Y^4≤ 64/x^2..........................①
( XY^2 )*( X^2/Y )=x^3 y
12/y≤x^3 ≤72/y [3≤XY^2≤8与4≤X^2/Y≤9相乘][这一步好像有问题 但没理清思路 ].............................②
欲使X^3/Y^4最大 取①9/x^2 ②72/y
X^3/Y^4=②/①= 8*X^2/Y
X^2/Y取最大值 9
所以X^3/Y^4的最大值为72

Answer 1

【【注】】
换元，这样看的更清楚。
【【解】】
可设a=xy², b=x²/y.
由此可知：
(x³)/(y^4)=b²/a
【1】
由题设可得：
①3≦a≦8.
∴1/8≦1/a≦1/3.
②4≦b≦9.
∴16≦b²≦81.
两式相乘，可得：
2≦b²/a≦27.
即：2≦x³/(y^4) ≦27.
∴[x³/(y^4)]max=27.
【【附】】
【1】易知，当x=3,y=1时，
此时满足题设条件，
∴x³/(y^4)=27是可以的。
【2】
在设a=xy²,b=x²/y后，
可以解得：
x^5=ab². y^5=a²/b.
其中，3≤a≤8 且4≤b≤9.
你的第二种解法，核心是：
x³/(y^4)=8x²/y
整理就是，x=8y³.
两边乘5次方后，x^5=[(2y)^5] ³
再把x^5=ab²,y^5=a²/b代入，整理得：
b=8a.
由3≤a≤8, 4≤b≤9可得：
4≤b≤9≤24≤8a≤64.
∴不可能有b=8a.
即你的变形是错了。

Answer 2

我很认真的看，并分析你的做法，感觉如下：
1，无法从你的前题推导出结论，也可能你认为两者有必然联系，请注明数学依据。
这是每个论文都需要做的。
2，你写的目的是让别人看懂，所以应该说清楚。将每一个步骤都写明，别人才能看懂。
3，你写的不等式的转换过程，好像不是按照定义或定理，而是按你自己理解的。
我将看不懂做了标记，你看一下，如认为觉得你正确，可将加上解释，以便我看懂。再追问我。
解法一：
x^3/y^4 = ( x^2/y )( x/y^3 )（恒等）
x/y^3=( X^2/Y )/( XY^2 )（恒等）
？？？？？？
所以MAX( x/y^3 )=3（ 怎么计算的？）
？？？？？？
所以X^3/Y^4的最大值为27 （怎么算的？）
解法二：
由题意知 x>0 y>0
对于3≤XY^2≤8 “开”平方 则为9≤x^2Y^4≤64（“3开平方”=√3，≠9！应该是“平方”）
==》9/x^2 ≤ Y^4≤ 64/x^2..........................①（不等式两边同时除以X^2，X^＞0，不等式不变。正确）
( XY^2 )( X^2/Y )=x^3 y （恒等）
？？？？？/
12/y≤x^3 ≤72/y.......②（怎么算出来的？）
…………………………以下未看，上面问题太多。
欲使X^3/Y^4最大 取①9/x^2 ②72/y
X^3/Y^4=②/①= 8*X^2/Y
X^2/Y取最大值 9
所以X^3/Y^4的最大值为72

追问

12/y≤x^3 ≤72/y [3≤XY^2≤8与4≤X^2/Y≤9相乘][这一步好像有问题 但没理清思路 ]

Answer 3

不等式取最大值时仅一种情况，解法二中两个不等式取最值时的情况不同
如欲使x^3取到72/y
则同时满足xy^2=8且x^2/y=9此时解得唯一解：x=3.65, y=1.48
此时y^4=64/x^2而非9/x^2
因此此情况下取到的x^3/y^4值为81/8小于27并非最大值

Answer 4

两个不等式不可能同时取到最大值