Question

如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,点P为底边BC上任意一点,PF⊥AB于F,PE⊥DC于E,BG⊥DC于G

证明：PE+PF=BG
…………

Answer 1

过P对BG做垂直线与H，（易得到）HG=PE，只需证BH=PE就能得到PE+PF=BG
∴ 只需证△BEP全等于△BHP即可
∵ BH垂直于BG BG也垂直于CG，角GCB=角GCB 可得角BPH=角BCG
因为是等腰梯形角ABC=角EBP=角DCB=角BCG
所以角BPH=角EBP
又因为角BEP=角BHP BP= PB
可得两个三角形全等所以BH=PE
∴BG=BH+HG=PE+PF

Answer 2

证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，

∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，

∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，

∴四边形PHGF是矩形，

∴PF=HG，PH∥CD，

∴∠BPH=∠C，

在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，

∴∠PBE=∠BPH，

又∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，

在△PBE和△BPH中

∠PEB=∠BHP=90°

∠PBE=∠BPH

BP=PB

∴△PBE≌△BPH（AAS），

∴PE=BH，

∴PE+PF=BH+HG=BG．

Answer 3

延长BA、CD交CD于O点，
过C点作垂直于CH⊥AD交CD于H点。
由BE⊥CD，BG⊥CD，由三角形BCG与三角形PEC相似，则PE/BG=CP/BC，即PE=CP×BG/BC，同理PF/CH=BP/BC,即PF=BP×CH/BC。
由梯形ABCD是等腰梯形，则∠ABC=∠BCD，即∠OBC=∠OCB
∵∠OBC=∠OCB
∴三角形OBC是等三角形
∴CH=BG（等三角形两腰的高相等）
PE+PF=CP×BG/BC+BP×CH/BC=CP×BG/BC+BP×BG/BC=（CP+BP）×BG/BC=BC×BG/BC=BG
∴PE+PF=BG

Answer 4

证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，
∴∠BPH=∠C，
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，
又∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，
在△PBE和△BPH中∠PEB=∠BHP=90°∠PBE=∠BPHBP=PB​
∴△PBE≌△BPH（AAS），
∴PE=BH，
∴PE+PF=BH+HG=BG．

Answer 5

过P点作垂线⊥BG于H
PEGH为矩形 PE=GH
∠BPH=∠BCG
有因为是等腰梯形 所以∠ABC=∠BCD 则 ∠ABC=∠BPH
在直角三角形中 两个角相等 一边公用 有SSB可知△FBP全等于三角形PBH
所有 BH=FP
所以 BH+HG=FP+FE 即 BG=FP+PE

Answer 6

给图，O(∩_∩)O谢谢