Question

已知特征值可以求出行列式及秩吗？

已知3阶矩阵A的特征值为－1，1，2，设B＝A^2+2A—E,求1、矩阵A的行列式及A的轶。2、矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵。

Answer 1

如果是实对称矩阵（可相似对角化矩阵）就可以，行列式就是特征值的乘积，秩就是非零特征值的个数。

特征值是指设A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx 成立，则称m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

特征值的性质：

特征值相同的特征向量相加还是特征向量，结合前面特征向量还可以任意伸缩，那么这特征值相同的两个不同方向（线性无关）特征向量可以张成一个平面，这个平面中的任何向量都是特征向量。也就是说一个特征值有几个线性无关的特征向量，他就可以有一个对应的几维特征空间。

矩阵的两种含义对应着秩的两种含义，当矩阵表示运动的时候秩代表运动到哪个维度。当矩阵表示空间的时候，秩表示这个空间的维度。

Answer 2

性质1. A的行列式等于A的全部特征值之积
所以 |A| = -1*1*2 = -2
所以A可逆, 故 A 的秩为3

性质2. 若a是可逆矩阵A的特征值, 则对多项式g(x), g(a)是g(A)的特征值
这里 g(x) = x^2+2x-1, g(A)=A^2+2A-E
所以 B=g(A)=A^2+2A-E 的特征值为 g(-1),g(1),g(2), 即 -2, 2, 7
与B相似的对角矩阵为 diag(-2,2,7)

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Answer 3

如果是实对称矩阵(可相似对角化矩阵)就可以，行列式就是特征值的乘积，秩就是非零特征值的个数。