Question

设V是一个向量空间，且V不等于｛0｝，证明：V不可能表示它的两个真子空间的并集。

Answer 1

证明：

对任意的a'、b'属于ImA、任意的数k

存在a、b属于V使得Aa=a'、Ab=b'

所以A（a+b）=Aa+Ab=a'+b'

属于ImA且ka'=kAa=A（ka）

属于ImA

又ImA是V的非空子集合

由A是V上的线性变换可知

从而ImA是V的子空间

扩展资料

性质：

在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域.当P是实数域时，V称为实线性空间.当P是复数域时，V称为复线性空间。

例如，若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合，P为实数域R，则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。

又如，若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P)，V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间.V中向量就是m×n矩阵。

再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)构成的集合P对于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)与纯量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。

Answer 2

假设命题不成立，设V=U∪W，其中U和W是V的真子空间
首先有U≠W，否则U=W=V
则存在x∈U，但x 不属于W
存在y∈W，但y 不属于U
考虑x+y，x+y∈V
则x+y∈U或x+y∈W
不妨设x+y∈U
由x∈U可得y∈U，矛盾

追问

2:设v和w都是数域f上向量空间，且dimv=n，令B是v到w的一个线性映射，我们如此选取v的一个基；D1.......Ds，Ds+1......Dn使得D1......Ds是Ker（B)的一个基，证明：（1）B(Ds+1),......B(Dn）组成Im（B)的一个基。（2）dimker（B)+dimIm（B)=n.

追答

1，第一步：证明B(Ds+1),......B(Dn)线性无关
第二步：证明BV中任何一个向量都可以表示成B(Ds+1),......B(Dn)的线性组合
证明我放图片里了

2，显然