Question

证明：设A：V→U是向量空间V,U的线性映射，则以下两条等价

1、A是满射
2、若Ω是V的生成集，则A(Ω):={A(ω )|ω∈Ω}是U的生成集

Answer 1

1->2由A是满射，可以得出任意u∈U，存在v∈V，A(v）=u
而v由Ω生成，所以v=k1 ω1 +k2ω2 +...+ksωs
u=A(v)= A(k1 ω1 +k2ω2 +...+ksωs) = k1A(ω1)+k2A(ω2) +...+ksA(ωs)
由于左侧是U中任意一个元素，A(ω1)，A(ω2) ，...，A(ωs)必须能线性表示U中任意向量
所以他们构成的集合是U的生成集合

2->1:同理，如果U中任意一个向量能由A(Ω)生成
u=k1A(ω1)+k2A(ω2) +...+ksA(ωs) = A(v)
所以对于任意v都可以找到v=k1 ω1 +k2ω2 +...+ksωs使得它是v的原像
得证