Question

高一数学。必修5的解三角形问题

已知三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列，且A<B<C，tanAtanC=2+√3
（1）求角A,B，C的大小
（2）如果BC=4√3，求三角形ABC的一边AC长，及三角形面积

Answer 1

∠A+∠B+∠C=180°

∠A+∠C=2∠B ∠B =60°

tan(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=tanB

tanA+tanC=tanB(1-tanAtanC)=√3(1-2-√3)=-√3-3

tanAtanC=2+√3

由公式x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

令a^2-(√3+3)a+(2+√3)=0

(a-1)(a-2-√3)=0 a=1 a=2+√3

tanA=1 tanC=2+√3 即A=45° C=180-60-45=75°

过C作AB高CD。则BCD为30、60、90直角三角形
ACD为45、45、90直角三角形
则BD＝2√3，CD＝6＝AD
AC＝6√2
S=(6+2√3)*6/2=18+6√3

Answer 2

∵三个内角A,B,C成等差数列
∴A+C=2B (解得：B=60°且A+C=120°)
在三角形中:tg(A+C)=(tgA+tgC)/(1-tgAtgC)=-tgB
∵tgAtgC=2+√3且B=60°
∴tgA+tgC=3+√3
解得：tgA=1或tgA=2+√3
∵A＜B＜C ∴tgA=1；A=45°,即C=75°
∵AC/sinB=BC/sinA
∴AC=(BC/sinA)*sinB=(4√3)*sin60°/sin45°=6√2
∴SΔABC=(1/2)absinC=(1/2)*(4√3)(6√2)sin75°=18+6√3

Answer 3

先由正且公式tan(A+C)=tan120度=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)，求出tanA+tanC的值，再连理tanAtanC组成方程组，求出，A,C对于第二问运用正弦公式求出AC,面积很快就能求