Question

求一道高一简单的三角函数问题，谢谢

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC
1.证明a^2,b^2,c^2成等差数列且0<B<=π/3
2.求函数y=2√3sin^2B+sin(2B+π/3)的最大值

把过程写一下，好的话适当加分
^2为...的平方
sin^2B为sinB的平方

Answer 1

解：1.因为2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC，所以：
tanB=2tanAtanC/(tanA+tanC)
=2sinAsinC/(sinAcosC+cosAsinC)
=2sinAsinC/sin(A+C)
=2sinAsinC/sinB
则：cosB=sin²B/(2sinAsinC)=b²/(2ac) （*） (注：应用正弦定理)
又由余弦定理有cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
所以：a²+c²-b²=b²,即：2b²=a²+c²
所以:a²,b²,c²成等差数列
又由均值定理得：a²+c²≥2ac （当且仅当a=c时取等号）
则：2b²≥2ac,即：b²/(2ac) ≥1/2
由（*）式知：cosB≥1/2
所以：0<B≤π/3

2. y=2√3sin²B+sin(2B+π/3)
=√3*(1-cos2B)+1/2*sin2B+√3/2*cos2B
=√3+1/2*sin2B-√3/2*cos2B
=√3+sin(2B-π/3)
由第1小题知：0<B≤π/3，即：0<2B≤2π/3
所以：-π/3<2B-π/3≤π/3
所以当2B-π/3=π/3,即B＝π/3时，
函数有最大值为√3+1

Answer 2

原式:2sinAsinCcosB=sinAsinBcosC+sinBsinCcosA (分母以通分，且除去）
sinA(sinBcosC-cosBsinC)=sinC(sinAcosB-cosAsinB) sinA=sin[180-(B+C)]=sin(B+C) ,sinC类同：
sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B) 积化和差：得，
1/2{cos[(B+C)-(B-C)]-cos[(B+C)+(B-C)]}=1/2{cos[(A+B)-(A-B)]-cos[(A+B)+(A-B)]}
cos2C-cos2B=cos2B-cos2A
2cos2B=cos2C+cos2A
2(1-2sin^2B)=1-2sin^2C+1-2sin^2A
2sin^2B=sin^2C+sin^2A 据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
∴2b^2=c^2+a^2 即a^2,b^2,c^2成等差数列。
b^2=(c^2+a^2)/2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(a^2+c^2)/4ac a^2+c^2≥2ac
∴1/2≤cosB 0＜B≤∏/3
(2)2√3sin^2B+sin(2B+∏/3)=2√3sin^2B+1/2sin2B+√3/2cos2B
=√3(1-cos2B)+1/2sin2B+√3/2cos2B
=√3-√3/2cos2B+1/2sin2B
=√3+(sin2Bcos∏/3-cos2Bsin∏/3)
=√3+sin(2B-/∏3) B=∏/3
原式=√3+√3/2=3√3/2为最大值。