Question

设正项级数∑（n=1→∞）Un收敛，C是常数，则下列选项中级数必收敛的是 高手来~不能证明举个反例也可

A、∑（n=1→∞）（根号Un） B、∑（n=1→∞）（Un+C）
C、∑（n=1→∞）（Un+C）² D、∑（n=1→∞）（Un²)
参考答案是D

Answer 1

讲个大概。ΣUn收敛，则由收敛必要性得通项Un趋于0（当n趋于无穷时）。所以从某一项开始Un<1
，所以Un^2<Un,所以可得ΣUn^2收敛
下面举反例
Un=1/n^2就符合ABC三个选项的反例了。B和C中有个常数C，很显然不可能收敛了。

Answer 2

答案很明显的，而不能证明的也只能举反例。
A令Un=1/(n^2),∑（n=1→∞）（根号Un）=∑（n=1→∞）1/n）发散；
B，C令Un=0，C=1，显然Un+C，（Un+C）² 发散（一般项不趋于0）；
D收敛必绝对收敛，必平方收敛，按定义结合Un有界可以证明

Answer 3

由∑（n=1→∞）Un收敛 ，有Un→0，n→∞ 所以对充分大的n 有 0《Un<1 , 所以 Un^2<Un
有比较判别法知D成立 反例：
A，可取 Un=1/n^2 B ，C 显然只有C=0 才能收敛