Question

高1数学1题： 设圆（x-1）²+（y+2）²=25，直线l:（2m+1）x+（m+1)y-7m-4=0（m∈R）

（1）：求证无论m何值，直线与圆总交于两点；
（2）：求直线被圆截得的弦长最小值，并求此直线方程；
急用，感谢大侠们了。

Answer 1

（1）：
直线l:（2m+1）x+（m+1)y-7m-4=0（m∈R）
整理为:（2x+y－7）m+（x＋y－4)=0（m∈R）
令2x+y－7＝0，x＋y－4=0，解得x＝3 y＝1
即直线过定点﹙3,1﹚
∵（3-1）²+（1+2）²＝13＜25
所以定点在圆内
∴无论m何值，直线与圆总交于两点
（2）：当圆心﹙1，－2﹚与定点﹙3,1﹚连线与直线L垂直时，截得弦长最短
利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形
弦心距为圆心﹙1，－2﹚与定点﹙3,1﹚的距离√13
弦长为4√3

Answer 2

(1)圆（x-1）²+（y+2）²=25
所以圆心为（1，-2），半径为5
又因为直线l:（2m+1）x+（m+1)y-7m-4=0过定点（3，1）
且（1，-2）到（3，1）距离为√（2²＋3²）=√13＜5
所以必与圆交于两点
﹙2﹚因为（1，-2）到直线l:（2m+1）x+（m+1)y-7m-4=0（m∈R）距离t为：
[｜（2m+1)-2(m+1)-7m-4｜]／√[﹙2m+1)²+﹙m+1)²]＝｜7m+5｜／√﹙5m²+6m+2﹚
所以t²=﹙7m+5)²／(5m²+6m+2﹚
化简得到(49-5t²)m²+﹙70-6t²)m+25-2t²=0
△=(70-6t²)²-4[﹙49-5t²)(25-2t²)]≥0
解得0≤t≤√13
容易知道，t越大，弦长越小
所以t=√13时，弦长最小，为2√[5²-﹙√13﹚²]=4√3
将t代入，求得m=-1／4
所以直线方程为2x+3y-9=0

望采纳，谢谢~~~~~

Answer 3

（1）求圆心与直线距离（有公式）只需证其值恒小于5，应该会用到德尔塔
（2）转化为求弦心距最大值，再用勾股定理。（半径恒定）

Answer 4

1.通常这种题有两种解法：
a.代进去死算就OK了
b.第二种，观察。一次函数只含一个参数，一般都过定点，这条直线过点（3，1）的，这个点 又 在圆内，OK ！
2.点到直线距离有公式的，（应该学过哦，没学过査书）。圆心到直线距离最大时，勾股定理计算。
（你直接画图也行，但是答案出来前要走个过场、）
很烦的！但是我高中三年没发现其他很好的方法，还有后期的参数方程也行的

Answer 5

圆（x-1）²+（y+2）²=25
所以圆心为（1，-2），半径为5
又因为直线l:（2m+1）x+（m+1)y-7m-4=0过定点（3，1）
且（1，-2）到（3，1）距离为√（2²＋3²）=√13＜5
所以必与圆交于两点
因为（1，-2）到直线l:（2m+1）x+（m+1)y-7m-4=0（m∈R）距离t为：
[｜（2m+1)-2(m+1)-7m-4｜]／√[﹙2m+1)²+﹙m+1)²]＝｜7m+5｜／√﹙5m²+6m+2﹚
所以t²=﹙7m+5)²／(5m²+6m+2﹚
化简得到(49-5t²)m²+﹙70-6t²)m+25-2t²=0
△=(70-6t²)²-4[﹙49-5t²)(25-2t²)]≥0
解得0≤t≤√13
容易知道，t越大，弦长越小
所以t=√13时，弦长最小，为2√[5²-﹙√13﹚²]=4√3
将t代入，求得m=-1／4
所以直线方程为2x+3y-9=0

当然也可以解Δ但是会比较麻烦

Answer 6

圆点代入直线。。。。平方后整理。。。B2-4AC >0......横成立