Question

初二数学证明题

1.如图（1），CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E,F。①：求证：△ACF∽△ABE ②：若AC=6CM,AF=3CM,AB=10CM,求出AE的长度
2.如图（2），已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ平行AB，P点在AC上（与A,C不重合），Q在BC上.①当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP 的长 ②当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP 的长 ③试问：在AB 上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形（∠MPQ=90°），若不存在，请简要说明理由;若存在，请求出PQ的长

Answer 1

1、
(1）∵∠B=90-∠CAB
∠ACD=90-∠CAB
∴∠B=∠ACD
∵AE为∠BAC的平分线
∴∠CAF=∠EAB
∴△ACF∽△ABE
（2）∵△ACF∽△ABE
∴AE：AF=AB：AC
得AE=3*10/6=5
2、
（1）S△ABC=3*4/2=6
∴S△CPQ=6/2=3
PC*CQ/2=3得PC*CQ=6
∵△CPQ∽△CAB
∴PC:4=CQ:3得CQ=3PC/4
即PC*3PC/4=6
得PC=2√2
(2)∵CQ=3PC/4
PC+CQ+PQ=PQ+4-PC+3-CQ+5
得PC+3PC/4=12-PC-3PC/4
得PC=24/7
(3)设PQ=5X
可得△CPQ高为2.4x
S△CPQ=3X*4X/2=6X²
∵△PQM为等腰直角三角形
∴S△PQM=25X²/4
可得梯形PQAB高为2*(6-6x²-25x²/4)/5=2.4-4.9x²
即2.4-4.9x²=2.4-2.4x
得x=24/49
PQ=5*24/49=120/49

Answer 2

①证明：因为AE是∠BAC的平分线，所以∠CAF=∠EAB。
又因为∠ACB=90°,CD是高，∠ACF=∠EBA。
所以∠AFC=∠BEA，可证△ACF∽△ABE

②因为△ACF∽△ABE 所以 AE/AF=AB/AC AE=5cm