Question

已知点P(5,0)和圆O：X²+Y²=16 问:过P任意作直线L与圆O交于A,B两点，求弦AB中点M的轨迹。

圆锥曲线问题，我没悬赏了 各位当做练练手吧

Answer 1

(x-5/2)^2+y^2=(5/2)^2,x<16/5

解法一
记坐标原点为O，OP中点为Q，M为弦AB中点则OM⊥AB，所以MQ=OP/2（直角三角形斜边的中线为斜边的一半），故M到定点Q（5/2，0）为定长5/2，且M位于圆O内部。可求得过P与圆O切线的切点横坐标为16/5，故x<16/5时位于圆内。

解法二
设M(x0，y0）
则直线方程可写为：
y=y0/(x0-5)(x-5)
联立直线与园方程
y=y0/(x0-5)(x-5)
x^2+y^2=16
则[y0/(x0-5)(x-5)]^2+x^2=16
化简
[y0^2/(x0-5)^2+1]x^2-10y0^2/(x0-5)^2x+25y0^2/(x0-5)^2=0
而M为弦AB中点
则10y0^2/(x0-5)^2/[y0^2/(x0-5)^2+1]=x1+x2=2x0
则5y0^2/(x0-5)^2/[y0^2/(x0-5)^2+1]=x0
所以中点M的轨迹方程：
x(x-5)+y^2=0 ，x<16/5