Question

点P(5,0)和圆X2+Y2=16.过点P作任意直线l与圆O交于A,B，求线段AB的中点M的轨迹方程

Answer 1

首先设A点的坐标为(x1，y1)；设B点坐标为(x2，y2) 。由题意知道线段AB是圆的一个弦，那么弦AB的中点M与圆心O的连线与弦AB垂直(过圆心垂直一个弦的垂线是这个弦的垂直平分线)。因为圆的方程为X2+Y2=16，所以圆心O为(0，0)。设M的坐标为(x，y)，那么与弦AB垂直的直线OM的斜率就为K=y/x。直线AB的斜率K0=(y2-y1)/(x2-x1)。根据直线OM与直线AB的垂直关系可列出：K*K0=y(y2-y1)/x(x2-x1)=-1(*)。
设直线AB(即直线I)的解析式为y=K0x+b，因为AB过点P(5，0)，则5K0+b=0，那么直线的解析式就可以化简为y=K0x-5K0。那么将点A、B带入有y1=K0x1-5K0；y2=K0x2-5K0 （**）。
点A、B又在圆上，则x1方+y1方=16；x2方+y2方=16 （***）；因为点M是线段AB的中点，所以点M坐标与点A、B的坐标关系有：2x=x1+x2；2y=y1+y2 （****）
由(*)(**)(***)(****)四个式之联立化简得到：x方-5x+y方=0 即为点M的轨迹方程。