Question

大学线性代数求助！

已知b1b2为非齐次线性方程组AX=B两个不同的解,A1A2为其导出组AX=0的一个基础解系，c1c2为任意常数，在AX=B的通解可以表示为
1/2(B1+B2)+C1A1+C2(A1+A2)
这是为何？求详解！

Answer 1

首先, 因为b1,b2为非齐次线性方程组AX=B两个解, 即有 Abi=B,i=1,2
所以 A[1/2(b1+b2)]=(1/2)(Ab1+Ab2)=(1/2)(2B) = B.
所以 1/2(b1+b2) 也是AX=B 的解.
[ 一般情况: k1b1+k2b2 也是 AX=B 的解 <=> k1+k2 = 1.
此处, k1=k2= 1/2]

其次, 因为 A1, A2 为 导出组AX=0的一个基础解系
所以 A1, A1+A2 是AX=0的解
而 A2 = -A1+(A1+A2)
所以 A1,A2 与 A1, A1+A2 等价.
所以 r(A1, A1+A2) = r(A1,A2) = 2.
所以 A1, A1+A2 线性无关.
所以 A1, A1+A2 也是AX=0的一个基础解系

所以AX=B的通解可以表示为 1/2(B1+B2) + C1A1 + C2(A1+A2)

有疑问请追问或消息我
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追问

而 A2 = -A1+(A1+A2)
所以 A1,A2 与 A1, A1+A2 等价.
这一句话不明白
为何A2 = -A1+(A1+A2)所以 A1,A2 与 A1, A1+A2 等价呢？
求解答，一定追分，其他的都看懂了

追答

一方面显然有 A1, A1+A2 可由 A1, A2 线性表示.
另一方面, A2 = -A1+(A1+A2), A1 = A1+ 0(A1+A2)
所以 A1, A2 可由 A1, A1+A2 线性表示.
所以两个向量组等价.

Answer 2

Ab1=B，Ab2=B，两式相加A（b1+b2）=2B，即A（b1+b2）/2=B，所以（b1+b2）/2是AX=B的一个解C1A1+C2(A1+A2)=（C1+C2）A1+C2A2=k1A1+k2A2，因为A1A2为对应齐次方程的基础解析，所以1/2(B1+B2)+C1A1+C2(A1+A2)是非齐次线性方程的通解。