Y=X+4+(9-X^2)^(1\2)求值域
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方法一:
设x=3cosa,其中a∈[0°,180°]。则:
y=3cosa+4+√[9-(3cosa)^2]=3cosa+4+3sina
=4+3√2[(1/√2)cosa+(1/√2)sina]=4+3√2(cos45°cosa+sin45°sina)
=4+3√2cos(45°-a)
∵-1≤cos(45°-a)≤1,∴4-3√2≤y≤4+3√2。
即原函数的值域是y∈[4-3√2,4+3√2]。
方法二:
∵y=x+4+√(9-x^2),∴y-x-4=√(9-x^2),∴(y-x-4)^2=9-x^2,
∴(y-4)^2-2(y-4)x+x^2=9-x^2,∴2x^2-2(y-4)x+(y-4)^2-9=0,
要确保x为实数,就需要:[-2(y-4)]^2-4×2[(y-4)^2-9]≥0,
∴(y-4)^2-2(y-4)^2+18≥0,∴(y-4)^2≤18,∴-3√2≤y-4≤3√2,
∴4-3√2≤y≤4+3√2。
即原函数的值域是y∈[4-3√2,4+3√2]。
设x=3cosa,其中a∈[0°,180°]。则:
y=3cosa+4+√[9-(3cosa)^2]=3cosa+4+3sina
=4+3√2[(1/√2)cosa+(1/√2)sina]=4+3√2(cos45°cosa+sin45°sina)
=4+3√2cos(45°-a)
∵-1≤cos(45°-a)≤1,∴4-3√2≤y≤4+3√2。
即原函数的值域是y∈[4-3√2,4+3√2]。
方法二:
∵y=x+4+√(9-x^2),∴y-x-4=√(9-x^2),∴(y-x-4)^2=9-x^2,
∴(y-4)^2-2(y-4)x+x^2=9-x^2,∴2x^2-2(y-4)x+(y-4)^2-9=0,
要确保x为实数,就需要:[-2(y-4)]^2-4×2[(y-4)^2-9]≥0,
∴(y-4)^2-2(y-4)^2+18≥0,∴(y-4)^2≤18,∴-3√2≤y-4≤3√2,
∴4-3√2≤y≤4+3√2。
即原函数的值域是y∈[4-3√2,4+3√2]。
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