Question

Y=X+4+(9-X^2)^(1\2)求值域

Answer 1

方法一：
设x＝3cosa，其中a∈［0°，180°］。则：
y＝3cosa＋4＋√［9－（3cosa）^2］＝3cosa＋4＋3sina
＝4＋3√2［（1/√2）cosa＋（1/√2）sina］＝4＋3√2（cos45°cosa＋sin45°sina）
＝4＋3√2cos（45°－a）
∵－1≤cos（45°－a）≤1，∴4－3√2≤y≤4＋3√2。
即原函数的值域是y∈［4－3√2，4＋3√2］。

方法二：
∵y＝x＋4＋√（9－x^2），∴y－x－4＝√（9－x^2），∴（y－x－4）^2＝9－x^2，
∴（y－4）^2－2（y－4）x＋x^2＝9－x^2，∴2x^2－2（y－4）x＋（y－4）^2－9＝0，
要确保x为实数，就需要：［－2（y－4）］^2－4×2［（y－4）^2－9］≥0，
∴（y－4）^2－2（y－4）^2＋18≥0，∴（y－4）^2≤18，∴－3√2≤y－4≤3√2，
∴4－3√2≤y≤4＋3√2。
即原函数的值域是y∈［4－3√2，4＋3√2］。

Answer 2

换元。可设x=3cost.(0≤t≤180º)
y=3cost+4+3sint.
接下来，就好做了。