Question

关于线性代数的问题

设向量组α1，α2，α3，α4，……αm(m>1)线性无关，且β=α1+α2+α3+α4+……αm，证明向量组β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm线性无关。

Answer 1

证明: (β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm)=(α1,α2,α3,……,αm)A
其中m阶方阵A=
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
... ...
1 1 1 ... 0

因为 |A|=(m-1)(-1)^(m-2)≠0.
所以 A 可逆.
所以 (α1,α2,α3,……,αm)=(β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm)A^-1
即有 α1,α2,α3,……,αm 可由 β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm 线性表示.
所以 α1,α2,α3,……,αm 与 β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm 等价.

所以 r(β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm)=r(α1,α2,α3,……,αm)=m
故 β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm线性无关.

[注: 也可用传统证法, 设 k1(β-α1)+k2(β-α2)+…+km(β-αm)=0
则 (k2+...+km)α1+(k1+...+km)α2+……+(k1+k2+...+km-1)αm=0
由 α1,α2,α3,……,αm 线性无关 得
k2+k3+k4...+km=0
k1+k3+k4...+km=0
k1+k2+k4...+km=0
... ...
k1+k2+k3+...+km-1=0
因为系数行列式 |A|=(m-1)(-1)^(m-2)≠0.
故方程组只有零解, 即有 k1=k2=k3=...=km=0.
所以 β-α1,β-α2,β-α3,…β-αm线性无关.]

满意请采纳^_^