Question

线性代数问题，已知三阶矩阵A的特征值为-1，1， ，则行列式 =?

Answer 1

已知三阶矩阵A的特征值为-1，1，二分一 ，则行列式 （A的负1次方+2I） 的值是？

我来给楼主答案：
A的特征值为-1，1，1/2；
则A^(-1)+2I的特征值为1，3，4；
所以A^(-1)+2I的行列式=1X3X4=12

请楼主参考！

追问

则A^(-1)+2I的特征值为1，3，4；
怎么得出来的？

追答

I是单位矩阵，若A的特征值为a，则有：
A^(-1)+2I的特征值为1/a+2

请楼主参考！

追问

为什么呢？这是怎么推导出来的......因为我遇到了类似的问题，依然是没有找到关键所在~感谢了，回答后必定重赏

追答

楼主一定要重赏啊，我在这里帮你推导一下！呵呵！

若矩阵A的特征向是为x，对应的特征值为a
则有：
Ax=ax
(A^2+2I)x=A^2x+2Ix=aAx+2x=a^2x+2x=(a^2+2)x
........
依次类推
(A^n+2I)x=A^nx+2Ix=(a^n+2)x
所以：
矩阵A^n+2I的特征值为a^n+2

请楼主参考，相信能够解决您的疑问！

Answer 2

已知三阶矩阵A的特征值为-1，1，1/2，则行列式 |A^-1+2I| 的值是？

解: A 的特征值是 -1, 1, 1/2
所以 A^-1 的特征值是 -1, 1, 2 [ A^-1的特征值是A的特征值的倒数]
所以 A^-1+2E的特征值是 -1+2=1, 1+2=3, 2+2 =4
所以 |A^-1+2I| = 1*3*4 = 12.

Answer 3

行列式等于所有特征值得乘积

追问

不好意思，题目无法完全显示出来~已知三阶矩阵A的特征值为-1，1，二分一 ，则行列式 （A的负1次方+2I） 的值是？