Question

高中数学向量与三角函数

△ABC中，若向量BC-(向量AB+向量AC)=0向量。且|向量AB+向量AC|=4，0＜A＜π/3，求向量AB·向量AC的取值范围。

Answer 1

解：以AB AC为相邻两边做平行四边形ABFC，对角线交于D；
因为：向量BC•(向量AB+向量AC)=0 即:向量BC•向量AF=0
所以：向量BC⊥向量AF 即 向量BC⊥向量AD
又因为对角线相互垂直的平行四边形为菱形，所以ABFC为菱形；
所以:AF平分角A且：AB=AC（菱形性质）
所以：在Rt三角形ABD和ABC中：｜向量AB｜=2/cos(A/2)= ｜向量AC｜
0＜A＜π/3 0<A/2<π/6 0<tan(A/2)< (√3)/3
向量AB•向量AC
=｜向量AB｜*｜向量AC｜*cos A
=(2/cos(A/2))^2*cos A
=4cosA/(cos(A/2))^2
=4(2(cos(A/2))^2-1)/ (cos(A/2))^2
=4(2-1/(cos(A/2))^2)
=4(2-((sin(A/2))^2+(cos(A/2))^2)/ (cos(A/2))^2)
=4[2-((tanA/2)^2+1)]
=4-4(tanA/2)^2
因为： 0<tan(A/2)< (√3)/3
所以： 8/3<4-4(tanA/2)^2<4 即：8/3<向量AB•向量AC<4

Answer 2

cos(A/2)= ｜向量AC｜
0＜A＜π/3 0<A/2<π/6 0<tan(A/2)< (√3)/3
向量AB•向量AC
=｜向量AB｜*｜向量AC｜*cos A
=(2/cos(A/2))^2*cos A
=4cosA/(cos(A/2))^2
=4(2(cos(A/2))^2-1)/ (cos(A/2))^2
=4(2-1/(cos(A/2))^2)
=4(2-((sin(A/2))^2+(cos(A/2))^2)/ (cos(A/2))^2)
=4[2-((tanA/2)^2+1)]
=4-4(tanA/2)^2
因为： 0<tan(A/2)< (√3)/3
所以： 8/3<4-4(tanA/2)^2<4 即：8/3<向量AB•向量AC<4

Answer 3

|向量AB+向量AC|=4
两边同时平方得到
|AB|²+2*|AB|*|AC|*cos<AB,AC>+|AC|²=16

Answer 4

取D为BC中点，AB向量+AC向量=2AD向量
则BC向量垂直AD向量 且AD=2
AB*AC COSA=（2* cosA/2）*（2*cosA/2）*cosA
剩下的 你应该会做了吧

Answer 5

不妨设A是（0，0），B（xb,0),C(xc,yc),如果满足向量BC-(向量AB+向量AC)=0向量就意味着xb=0。这说明题目有误