Question

帮忙解一道困扰我很久的数学题，谢谢啦！

四边形ABCD是正方形，其对角线AC、BD交于点O，点P为AD边上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，M是AD的中点，连接OE、OF.
如图，当四边形ABCD为矩形时，求证ME=MF。

图2 http://wenwen.soso.com/z/q201407022.htm

快点啊！！我们的作业题，周一要交的。谢谢各位！

Answer 1

（1）如图1，求证ME=MF

（2）如图2，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。
夏· 回答:2 人气:27 解决时间:2010-06-27 16:51
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连接OM，容易证明MOF与MAE全等。

在正方形中易知：∠MAE = ∠MOF = 45度。

∠AOD = 90度，且M是中点，所以：MO = MA

PEOF是矩形，所以，PE = OF

AEP是等腰直角三角形，所以：PE = AE 从而有：AE = OF

有了上面加黑的三个条件，它们就全等了

在第二问中，APH = ADO （两直线平行，同位角相等）

ADO = PAE （矩形中，OA=OD，等边对等角）

所以：APH = PAE

有问题追问……

Answer 2

连接OM，由于PE⊥AC，PF⊥BD，故四边形PEOF为长方形，PE=OF，而∠EAP=45°，PE⊥AE，三角形AEP为等腰直角三角形，AE=PE=OF。又三角形AMO为等腰直角三角形，故AM=OM，∠EAM=∠FOM=45°，由边角边知，三角形AEM全等于OFM，故ME=MF。

Answer 3

PE⊥AC，PF⊥BD所以点O，E，P，F共圆，且OP为直径，又因为OM⊥PM，所以点M也在圆上；
由EFMP共圆可得出，∠MEF=∠MPF，∠APE=∠PEM+∠PME=∠PFM+∠PFE=∠EFM；
依题意易证△APE相似于△DPF，所以∠APF=∠MPF；
所以∠MEF=∠MFE，所以△MEF是等腰三角形，所以ME=MF。

Answer 4

去问问老师啊 笨蛋

Answer 5

不好意思，我对数学没兴趣。。。帮不了你，对不起咯。。。。

Answer 6

头疼啊……