Question

数学，排列组合

如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架（由24个棱长为1个单位长度的正方体框架组合而成）．一建筑工人从
A点沿脚手架到点B，每步走1个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共
有

Answer 1

最近路线共9单位长度
问题可以转化一下：有9个空排成一排，将3个“上”，4个“右”，2个“前”填到这9个空里，那么每一种填法就对应原问题中的一种行走路线，因此只需求有多少种填法，注意到原问题中要求不连续向上攀登，那么3个“上”两两不相邻
先填3个“上”，即选出3个互不相邻的空位来填“上”。这时可以用穷举法，也可以这样想：3个“上”占据3个空位，还有6个空位，3个“上”将这6个空位分成4部分，设从左至右依次有x,y,z,w个空位，那么有x+y+z+w=6，x,w≥0，y,z≥1，问题又转化为求这个方程有几组解（每种解与一种“上”的填法一一对应），方程即(x+1)+y+z+(w+1)=8，这里x+1，y，z，w+1均为正整数，故又转化为方程x+y+z+w=8的正整数解，用隔板插孔法易知有C(7,3)组解，因此3个“上”共有C(7,3)种填法
接下来填“右”，有C(6,4)种填法，当“上”“右”填完后，“前”的位置也跟着确定了
因此总的填法有C(7,3)C(6,4)=525种，则其行走的最近路线共有525种
不懂再追问

Answer 2

插空法：
最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路。所以一共要走3次向上，4次向右，2次向前。一共9次。
因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是4次向左和2次向前全排列P(6,6)
因为4向左之前是没有顺序的，所以还要除以P(4,4).同理，再除以P(2,2)
接下来，就是把3次向上，插到6次不向上之间的空当中。7个位置排三个元素，也就是C(7,3)
P(6,6)/P(4,4)/P(2,2)*C(7,3)=720/24/2*35=525种

Answer 3

Answer 4