Question

函数f(x)对任意m,n∈R,都有f(m)*f(n)=f(m+n),并且当x<0时,f(x)大于1

证明 1.f(0)=1
2.x>0时 0<f(x)<1
3.f(x)在R上单调递减

二：对任意函数x,y有f(x^2)*f(y^2)<-f(axy)恒成立，求a的范围

Answer 1

1、取m=n=0，则f(0)²=f(0)，则f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)=f(x＋0)=f(x)f(0)=0，不可能，则f(0)=1；
2、
3、设x1<x2，则f(x1)－f(x2)=f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)=f(x1－x2)f(x2)－f(x2)=f(x2)[f(x1－x2)－1]
由于x1－x2<0，则f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0，余下的你可以自己试试了。