Question

??????已知函数f（x）＝ax三次方＋x平方＋bx（其中a，b属于R），g（x）＝f（x）＋f’（x）是奇函数。（...

??????已知函数f（x）＝ax三次方＋x平方＋bx（其中a，b属于R），g（x）＝f（x）＋f’（x）是奇函数。（1）求f（x）的表达式。（2

Answer 1

解：
(1)
f'(x)=3ax²+2x+b
g(x)=f(x)+f'(x)=ax³+(3a+1)x²+(b+2)x+b
∵g(x)是奇函数
∴g(-x)=-g(x)
即a(-x)³+(3a+1)(-x)²+(b+2)(-x)+b=-[ax³+(3a+1)x²+(b+2)x+b]
解得a=-1/3，b=0
∴f(x)=-1/3x³+2x

Answer 2

f（x）＝ax三次方＋x平方＋bx
f'(x)=3ax^2+2x+b
g（x）＝f（x）＋f’（x）=ax^3+(1+3a)x^2+(2+b)x+b
奇函数没有常数项和偶次方项
所以1+3a=0 a=-1/3 b=0
f（x）=-1/3x^3+x^2

Answer 3

g(x)=ax^3+(3a+1)x^2+(b+2)x+b
g(x)为奇函数
则g(0)=0 b=0 (1)
g(-x)=-g(x)
即-ax^3+(3a+1)x^2-(b+2)x+b=-ax^3-(3a+1)x^2-(b+2)-b
(3a+1)x^2+b=0
代入(1) (3a+1)x^2=0 a=-1/3
所以f(x)=-(1/3)x^3+x^2