Question

已知函数f（x）=-x三次方+x平方+b，g（x）=alnx

1、若f（x）在x 属于【－1/2，1)上最大值为3/8，求b值2、若对任意x属于【1，e】，都有g（x）大于等于－x平方+(a+2)x恒成立，求a的取值范围

Answer 1

1. f'(x)=-3x^2+2x=0,得极值点x=0, 2/3
f(0)=b为极小值
f(2/3)=4/27+b为极大值
端点值f(-1/2)=3/8+b
f(1)=b
比较得最大值为f(-1/2)=3/8+b=3/8
故b=0
2. alnx>=-x^2+(a+2)x
令h(x)=alnx+x^2-(a+2)x
则在[1,e], h(x)>=0恒成立，故其最小值应>=0
h'(x)=a/x+2x-(a+2)=1/x*( 2x^2-(a+2)x+a)=1/x*(2x-a)(x-1)=0,得：x=1, a/2
若a>2,则h(1)=-a-1<0.,不符
若a<=2,则x>1时 h(x)单调增，h(1)=-a-1>=0得：a<=-1,
综合得：a<=-1