Question

平面向量问题

已知平面向量a=（√3/2，-1/2），b=（1/2，√3/2）
若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+（t²-k）b，y=-sa+tb，且x⊥y，试求函数关系式s=f（t）
若s=f(t) 在[1，+∞﹚上是增函数，试求k的取值范围

Answer 1

x=（√3/2，-1/2）+（t²-k）（1/2，√3/2）=(√3/2+1/2 （t²-k），-1/2+√3/2 （t²-k）)，
y=-s（√3/2，-1/2）+t（1/2，√3/2）=(-√3/2 s+1/2 t，1/2 s+√3/2 t）
x⊥y，故(√3/2+1/2 （t²-k），-1/2+√3/2 （t²-k）)点乘(-√3/2 s+1/2 t，1/2 s+√3/2 t）=0
整理得s=t（t²-k），即s=f(t)=t（t²-k）
s的一阶导数为3t²-k，当3t²-k>=0，即t²>=k/3时s=f(t) 递增，又s=f(t) 在[1，+∞﹚上是增函数，所以
k/3=1，得k=3

追问

我们还没有学导数，能用高一函数知识解决吗？还有，最后是求范围啊

追答

由s=f(t)=t（t²-k）可得：f(t)=t（t²-k），f(u)=u（u²-k），t，u都属于[1，+∞﹚且t0，从而k<t^2+tu+u^2，考虑到t、u的取值范围，故有k<3