如图AD、BF分别是三角形ABC的高和角平分线,BF、AD,相交于E,角AFE=角AEF,求证角BAC=90度
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证法一:
过E作EG⊥AB交AB于G。
∵∠ABE=∠CBE,∠BGE=∠BDE=90°,AE=AE,∴△BGE≌△BDE,∴∠BEG=∠BED,
显然有:∠BED=∠AEF,∴∠BEG=∠AEF,又∠AEF=∠AFE,∴∠BEG=∠BFA,
∴EG∥FA,而EG⊥AB,∴FA⊥AB,即:∠BAC=90°。
证法二:
过F作FH⊥BC交BC于H。
∵AD⊥BC,FH⊥BC,∴AD∥FH,∴∠AEF=∠BFH,而∠AFE=∠AEF,∴∠BFH=∠AFE,
又∠ABF=∠HBF,BF=BF,∴△BFH≌△BFA,∴∠BAC=∠BHF=90°。
过E作EG⊥AB交AB于G。
∵∠ABE=∠CBE,∠BGE=∠BDE=90°,AE=AE,∴△BGE≌△BDE,∴∠BEG=∠BED,
显然有:∠BED=∠AEF,∴∠BEG=∠AEF,又∠AEF=∠AFE,∴∠BEG=∠BFA,
∴EG∥FA,而EG⊥AB,∴FA⊥AB,即:∠BAC=90°。
证法二:
过F作FH⊥BC交BC于H。
∵AD⊥BC,FH⊥BC,∴AD∥FH,∴∠AEF=∠BFH,而∠AFE=∠AEF,∴∠BFH=∠AFE,
又∠ABF=∠HBF,BF=BF,∴△BFH≌△BFA,∴∠BAC=∠BHF=90°。
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