Question

已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f(1/2)=-1.当且仅当0<x<1时,f(x)<0,且对任意x,y∈(-1,1)都有

f(x)+f(y)=f［x+y/(1+xy)］,证明:f(x)在(-1,1)上单调递减.
请回答者详细说明解题过程.谢谢.

Answer 1

证明：（1）先取x=y=0，则2f（0）=f（0），∴f（0）=0。
再取y=-x，则有f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）。
∴f（x）为奇函数。
（2）任取-1<x2<x1<1，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=fx1-x21-x1x2。
∵-1<x2<x1<1,
∴|x1|<1,|x2|<1,|x1x2|<1,
∴x1x2<1,即1-x1x2>0。
又∵x1-x2>0,∴x1-x21-x1x2>0，x1-x2-（1-x1x2）=（x1-1）（x2+1）<0,
∴x1-x2<1-x1x2,x1-x21-x1x2<1。
∴0<x1-x21-x1x2<1,fx1-x21-x1x2<0。
∴f（x1）<f（x2）,即f（x）在（-1,1）上单调递减。

Answer 2

显然，f(x)奇函数。
在[0,1]上取0<x1<x2<1，
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1/(1-x1x2))<0,证毕

LS是更详尽的解答 = =

Answer 3

不妨设z＜x。令z=(x+y)/(1+xy)解得y=(z-x)/(1-xz)。因为xz＜1，由z＜x即得y＜0，因此f(y)≥0，即f(x)≤f(z)。