Question

设函数F(X)=1/3X^3-MX^2+(M^2-4)X,

已知函数F（X）有三个互不相同的零点0，P,Q,且P《Q。若对任意的X属于【P,Q],都有F(X)>=F(1)恒成立，求实数M的取值范围。

Answer 1

解：
∵f(x)=x^3-mx2+(m^2-4)x，x∈R
∴f'(x)=x^2-2mx+(m^2-4)
令f'(x)=0，得 x=m-2或x=m+2且m-2＜m+2
当x∈(-∞，m-2)时，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，m-2)上是增函数；
当x∈（m－2，m＋2）时，f'(x)＜0，f(x)在（m－2，m＋2）上是减函数；
当x∈（m＋2，＋∞）时，f'(x)＞0，f(x)在（m＋2，＋∞）上是增函数
所以
x=m-2，f(x)取极大值，
x=m+2，f(x)取极小值.
根据f(x)的单调性,可以把f(x)图像的趋势画出，有三种情况：
（1）当P＜Q＜0时，f（x）图像的趋势为
由图像可知：f（P）=f（Q）=0，
f（1）=f（0）=0
所以有f（1）＞f（P）＞f（Q），与已知条件，若对任意的x∈［P，Q］，都有f（x）≥f（1）恒成立矛盾，此情况舍去;

（2）当P＜0＜Q和0＜P＜Q这两种情况时，
对于x∈［P，Q］，由图像可知，
f（x）的最小值为f（m+2），
已知条件，若对任意的x∈［P，Q］，都有f（x）≥f（1）恒成立
必有P＜1＜Q，
所以要想使对任意的x∈［P，Q］，都有f（x）≥f（1）恒成立，一定有
f（m+2）=f（1），
即m+2=1，
所以m=-1.