Question

一道高一数学题！急！！

已知向量a=（sinx，根号3cosx），向量b=（cosx，cosx），f（x）=向量a乘向量b
1.若向量a垂直于向量b，求x的解集
2.求f（x）的周期及增区间
详细过程！谢了！

Answer 1

第一个问题：
向量a·向量b＝sinxcosx＋√3cosxcosx＝（1/2）sin2x＋（√3/2）2（cosx）^2
＝（1/2）sin2x＋（√3/2）（cos2x＋1）＝sin（π/6）sin2x＋cos（π/6）cos2x＋√3/2
＝cos（2x－π/6）＋√3/2
∵向量a⊥向量b，∴向量a·向量b＝0，即：cos（2x－π/6）＋√3/2＝0，
∴cos（2x－π/6）＝－√3/2，∴2x－π/6＝2kπ＋π±π/6
当取正号时，2x＝2kπ+π+π/3＝2kπ＋4π/3，∴x＝kπ＋2π/3。
当取负号时，2x＝2kπ＋π，∴x＝kπ＋π/2。
∴满足条件的x的解集是：x＝kπ＋2π/3和x＝kπ＋π/2，其中k为整数。

第二个问题：
f（x）＝向量a·向量b＝cos（2x－π/6）＋√3/2＝cos（2x－π/6＋2kπ）＋√3/2
＝cos［2（x＋kπ）＋π/6］＋√3/2
∴原函数的周期是kπ，其中k为整数。特别地，最小正周期是π。

显然，当2kπ＋π≤2x－π/6≤2kπ＋2π时，f（x）单调递增。
由2kπ＋π≤2x－π/6≤2kπ＋2π，得：2kπ＋7π/6≤2x≤2kπ＋13π/6，
∴kπ＋7π/12≤x≤kπ＋13π/12。
即原函数的增区间是［kπ＋7π/12，kπ＋13π/12］，其中k为整数。

Answer 2

1.向量a垂直于向量b，则向量a·向量b=0。sinxcosx+根号3cos^2x（这个表示cosx的平方哦）=0。因为cos2x=2cos^2x-1，sin2x=sinxcosx，所以原式化为：1/2sin2x+根号3(1/2cos2x+1/2)=0，则1/2sin2x+根号3/2cos2x+根号3/2=0，即sin2x+根号3cos2x+根号3=0。2sin(2x+π/6)=-根号3，sin(2x+π/6)=-根号3/2，2x+π/6=2kπ+4π/3或2kπ+5π/3，因此x解集为{x|x=kπ+7π/12或kπ+3π/4，k属于(属于符号我打不出来)Z}
2.由1可知，周期2π/2=π，增区间[kπ-π/3，kπ+π/6](k属于Z)