在三角形ABC中,角ABC=90度,AB=BC。如图,AD为BC边的中线,若角ADB=角CDE,求证:AD垂直BE

在三角形ABC中,角ABC=90度,AB=BC。如图,AD为BC边的中线,若角ADB=角CDE,求证:AD垂直BE... 在三角形ABC中,角ABC=90度,AB=BC。如图,AD为BC边的中线,若角ADB=角CDE,求证:AD垂直BE 展开
陈华1222
2011-07-01 · TA获得超过5.1万个赞
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证法一:延长DE交平行于AB的直线CF与F
∵∠ADB=∠CDE
∠ABD=∠FCD=90°
BD=CD----------------------------D为BC的中点
∴ Rt△ABD≌Rt△FCD
∴CF=AB, ∠CFD=∠BAD--------------------------------①
延长BE交CF于G:
∵BC=AB=CF
∠BCE=∠FEC=45°
∴△BCE≌△FEC
∴∠CBE=∠CFE-------------------------------------------②
由①、②,且由于△ABD为直角三角形
∴ AD⊥BE
证法二:设AD和BE交于O,作辅助线BF⊥AC,交AC于F,交AD于G
因为:△ABC中,∠ABC等于90°,AB=BC,则∠C=∠FBC=45度
又因为:
CD=BD, ∠ADB=∠CDE,
所以 △CDE全等△BDG
所以 CE=BG
又因为:
AB=CB, ∠ABG=∠C,
所以 △ABG全等△BCE
所以 ∠AGB=∠BEC
所以 ∠BGO=∠BEF
△BEF和△BOG中,2个角相等,则第三个角相等,
∠BOG=∠BFE=90度
所以 AD⊥BE
追问
在三角形ABC中,角ABC=90度,AB=BC
如图,AD为BC边的中线,若AD垂直BE,求证角ADB=角CDE
追答
方法类似。
第一步,证三角形ABD全等于三角形BCG。得到角ADB=角G,BD=CG。
第二步,证三角形CDE全等于三角形CGE,得到角CDE=角G。从而角ADB=角CDE。
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