Question

一道几何竞赛题

如题图凸四边形ABCD为圆O的内接四边形，对边BC，AD交于F点，AB，DC交于E点 三角形ECF的外接圆与圆O的另一个交点为H，AH交EF于M，MC交圆O于G
求证1：M为EF的中点
2：AGEF四点共圆 证明出来了有加分啊

Answer 1

第一个问题：
令△ECF的外接圆圆心为为P，延长AM交⊙P于J。
∵C、H、F、J共圆，∴∠FJH＝∠FCH。
∵A、B、C、H共圆，∴∠FCH＝∠BAH。
由∠FJH＝∠FCH，∠FCH＝∠BAH，得：∠FJH＝∠BAH，即：∠AJF＝∠JAE，∴FJ∥AE。

∵J、E、C、H共圆，∴∠DCH＝∠EJH。
∵D、A、C、H共圆，∴∠DCH＝∠DAH。
由∠DCH＝∠EJH，∠DCH＝∠DAH，得：∠EJH＝∠DAH，即：∠AJE＝∠JAF，∴EJ∥AF。

由FJ∥AE，EJ∥AF，得：AEJF是平行四边形，∴EM＝FM，即：M是EF的中点。

第二个问题：
延长GM交⊙P于K。
∵K、J、C、H共圆，∴∠KJH＝∠KCH。
∵A、G、C、H共圆，∴∠GAH＝∠KCH。
由∠KJH＝∠KCH，∠GAH＝∠KCH，得：∠KJH＝∠GAH，即：∠GAJ＝∠KJA，∴KJ∥AG，
又AEJF是平行四边形［第一个问题时证得］，有：JM＝AM。
由M＝AM，KJ∥AG，得△KJM≌△GAM，∴KJ＝GA。

由证得的∠KJA＝∠GAJ，∠AJF＝∠JAE，得：∠KJA－∠AJF＝∠GAJ－∠JAE，
即：∠FJK＝∠EAG。
再由平行四边形AEJF，得：FJ＝EA。
由FJ＝EA，∠FJK＝∠EAG，KJ＝GA，得：△FJK≌△EAG，∴∠FKJ＝∠EGA。

∵E、F、K、J共圆，∴∠FEJ＋∠FKJ＝180°，结合证得的∠FKJ＝∠EGA，
得：∠FEJ＋∠EGA＝180°，显然，由平行四边形AEJF有：∠FEJ＝∠AFE，
∴∠AFE＋∠EGA＝180°，∴A、G、E、F共圆。

Answer 2

图呢
没图不好做呀