Question

四边形ABCD是园o的内接正方形，P是弧AB的中点，PD与AB交于E点，求PE:AE的值。

答案是：【根号下（4-2倍根号2）】除以2，所以过程做不出来。

Answer 1

解：sin22.5度=根号[(1--cos45度)/2]
=根号[（1--根号2/2）/2]
=[根号（2--根号2）]/2
因为 ABCD是圆珠笔O的内接正方形
所以 弧AB与弧AD都等于90度
所以 角P=45度，
因为 P是弧AB的中点
所以 弧PB=45度，角PAB=22。5度，
于是 在三角形PAE中，由正弦定理可得：
PE/AE=sinPAE/sinP
=sin22.5度/sin45度
={[根号（2--根号2)]/2}/[(根号2)/2]
=[根号(2--根号2)]/(根号2)
=根号(根号2--1).

Answer 2

连PO交AB于F。令⊙O的半径为r，则容易算出：
AB＝AD＝√2r。
∵PA＝PB，∴OF⊥AF，且AF＝AB/2＝√2r/2。　　不难算出：FO＝AF＝√2r/2。
又PF＝PO－FO＝r－√2r/2。
∴PA＝√（AF^2＋PF^2）＝√［（√2r/2）^2＋（r－√2r/2）^2］
＝√（r^2/2＋r^2－√2r^2＋r^2/2）＝√（2－√2）r。

∵P、A、B、D共圆，∴∠PBE＝∠ADP，又∠PEB＝∠AED，∴△PBE∽△AED，
∴PE/AE＝PB/AD＝PA/AD＝√（2－√2）r/（√2r）＝√（4－2√2）/2。