Question

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC，AD为BC边中线

1）如图，若∠ADB=∠CDE，求证：AD⊥BE
2）如图，若AD⊥BE，求证：∠ADB=∠CDE

Answer 1

证法一：延长DE交平行于AB的直线CF与F
∵∠ADB=∠CDE
∠ABD=∠FCD=90°
BD=CD----------------------------D为BC的中点
∴ Rt△ABD≌Rt△FCD
∴CF=AB, ∠CFD=∠BAD--------------------------------①
延长BE交CF于G:
∵BC=AB=CF
∠BCE=∠FEC=45°
∴△BCE≌△FEC
∴∠CBE=∠CFE-------------------------------------------②
由①、②，且由于△ABD为直角三角形
∴ AD⊥BE
证法二：设AD和BE交于O，作辅助线BF⊥AC，交AC于F，交AD于G
因为：△ABC中,∠ABC等于90°,AB=BC，则∠C=∠FBC=45度
又因为：
CD=BD, ∠ADB=∠CDE,
所以 △CDE全等△BDG
所以 CE=BG
又因为：
AB=CB, ∠ABG=∠C,
所以 △ABG全等△BCE
所以 ∠AGB=∠BEC
所以 ∠BGO=∠BEF
△BEF和△BOG中，2个角相等，则第三个角相等，
∠BOG=∠BFE=90度
所以 AD⊥BE

数学至理名言：不会做，找全等。不会做，找相似~

Answer 2

勾股定理：
AB^2=BD^2+AD^2
AC^2=AD^2+DC^2
则AB^2-AC^2＝BD^2-DC^2=(BM+MD)^2-(MC-MD)^2,注意BM＝MC。
则=(BM+MD)^2-(MC-MD)^2＝(BM+MD)^2-(BM-MD)^2＝4MD*BM＝2MD*BC