Question

高数微分方程问题：设y1,y2,y3是微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个不同的解，且(y1-y2)/(y2-y3)≠常数

则微分方程的通解为?
答案是y=c1(y1-y2)+c2(y2-y3)+y1
老师有讲过程，老师说y1-y2和y2-y3都是该微分方程所对应的齐次方程的解，我这里就不懂了，为什么y1-y2和y2-y3都是该微分方程所对应的齐次方程的解啊？有什么定理可以说明吗？还是要如何推出来呢？
求解释。谢谢啊谢谢~

Answer 1

非齐次方程的任意两个解的差都是对应的齐次方程的解，这个结论很明显呀（两个解代入非齐次方程，相减，右边不就是f(x)-f(x)=0嘛）。
齐次方程有三个解y1-y2,y2-y3,y3-y1，任意两个都线性无关，任选两个均可。非齐次方程的解也是三选一，所以非齐次方程的通解的表示形式是不唯一的：
y1+C1(y1-y2)+C2(y2-y3)
y2+C1(y1-y2)+C2(y2-y3)
y3+C1(y1-y2)+C2(y2-y3)
y1+C1(y1-y2)+C2(y3-y1)
y2+C1(y1-y2)+C2(y3-y1)
........后面的省略了..........
这些都可以

Answer 2

该方程为线性微分方程，其解亦具有线性结构，满足叠加性
高数课本第七章第六节（高阶线性微分方程）上有说的

追问

定理4（叠加原理）：设非齐次线性方程的右端是两个函数之和，即
y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)+f2(x)
而y1*(x)与y2*(x)分别是方程
y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)
与 y''+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)
的特解，那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解
是这个原理么？… 我还是不理解能解释上面的题啊…这定理里所有的方程都是非齐次的啊…而题目中老师说相减后是齐次的解啊……谢谢